Matriks dan Determinan Matriks

Nama : Erisa Putri Maulina
NIM : 04218038
Prodi/Kelas : Sistem Informasi/A
Mata Kuliah : Aljabar Linier



Hai semua... Kali ini saya akan membahas dua materi. Pada materi pertama, yang akan saya bahas adalah tentang matriks, yakni meliputi pengertian matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan dua matriks, operasi pada matriks, sifat-sifat operasi matriks, jenis matriks khusus, transformasi elementer. Sedangkan pada materi kedua, saya akan membahas tentang determinan matriks,

"MATRIKS"

Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom, serta diapit oleh dua tanda kurung siku. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Setiap matriks pasti mempunyai ordo. Apakah yang dinamakan ordo?

Ordo atau ukuran adalah jumlah baris dan jumlah kolom yang ada dalam sebuah matriks. Dalam penyebutan ordo adalah dengan menyebut jumlah baris lalu jumlah kolom. Jika banyak baris dilambangkan dengan a, dan banyak kolom dilambangkan dengan b, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran a x b.

Contoh lain:

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan contoh berikut:

Diagonal utama adalah elemen 1, 5, 9, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 3, 5, 7.

Jenis – Jenis Matriks


1. Matriks Persegi
Matriks persegi atau biasa disebut dengan matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah baris sama dengan jumlah kolom.

Contoh:

A = Matriks persegi berordo 2 × 2
B = Matriks persegi berordo 3 × 3
C = Matriks persegi berordo 4 × 4

2. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen diagonal bawah bernilai nol. Sedangkan matriks segitiga bawah adalah kebalikan dari matriks segitiga atas yaitu matriks yang elemen diagonal atas bernilai nol.
Contoh:

-          Matriks Segitiga Atas

 -          Matriks Segitiga Bawah

3. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang memiliki elemen diluar diagonal utama yang bernilai nol. 
Contoh:

4. Matriks Identitas
Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”.
Contoh:

5. Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks yang elemen diagonal utamanya sama tetapi bukan nol, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol.
Contoh:

6. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.
Contoh:

7. Matriks Simetri
Matriks simetri adalah matriks persegi yang jika A=A^T.
Contoh:

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Contoh lain:

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemennya bernilai sama.

Contoh:

Operasi pada Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan matriks adalah jumlah matriks A dan B ditulis A + B yaitu suatu matriks yang diperoleh dari menjumlahkan setiap unsur yang seletak dari A dan B.
Pengurangan matriks adalah selisih antara matriks A dan B ditulis A - B adalah suatu matriks yang diperoleh dari mengurangkan setiap unsur yang seletak dari A dan B.
Pada operasi penjumlahan dan pengurangan matriks mempunyai syarat yaitu ordo pada matriks A dan B harus sama.

 Contoh:

2. Perkalian Matriks dengan Skalar
Hasil dari perkalian matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setiap unsur dari matriks A.

 Contoh:

 Tentukan:
a. 3B
b. 5A

Penyelesaian:

3. Perkalian Dua Matriks
Perkalian matriks A dan B yang dinyatakan dengan C = AB dengan syarat banyaknya kolom dimatriks A harus sama dengan banyaknya baris dimatriks B. Aturannya adalah jumlah dari semua perkalian antara elemen A pada baris ke i dengan elemen B pada kolom ke k.

 Contoh:

4. Transpos Matriks (A^T)
Transpos matriks adalah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, atau menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j.
Contoh:

5. Trase Matriks
Trase matriks adalah penjumlahan semua elemen diagonal utama pada matriks persegi.

 Contoh:

Trase (A) = 1 + 6 = 7

Trase (B) = 5 + 7 + (-8) + (-3) = 1

Trase (C) = 3 + (-1) + 5 = 7

Sifat – Sifat Operasi Matriks
1. Sifat Penjumlahan Matriks dan Perkalian dengan Skalar

a.       A + B = B + A                               (Sifat komutatif)

b.       (A+B)+C = A+ (B+C)                 (Sifat asosiatif)

c.       A + 0 = 0 + A = A                        (Sifat matriks 0, identitas penjumlahan)

d.       A + (-A) = - A + A = 0                 (Sifat negatif matriks)

e.       k(A+B) = kA +kB                        (Sifat distributif)

f.        (kI)A = k(IA)                                (Sifat asosiatif)

g.       IA = A                                            (Sifat perkalian)

2. Perkalian Matriks
Pada umumnya berlaku sifat AB ≠ BA

(perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif)

Jenis Matriks Khusus
1. Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten

a.       Idempoten

AA = A² = A (A = Matriks Bujur Sangkar)

Contoh:

b.       Periodik

AAA….A = A^p = A (dengan periode p-1)

c.       Nilpoten

A^r = 0 ; Nilpoten dengan Index r (Integer terkecil), untuk r bilangan bulat positif.

Contoh:

Matriks A = Nilpoten dengan indeks = 3

Transformasi Elementer
1. Penukaran tempat baris/kolom

a.       Baris ke-i  dan baris ke-j, ditulis B_ij(A)

b.       Kolom ke-i  dan kolom ke-j, ditulis K_ij(A)

Contoh:

2. Mengalikan baris/kolom dengan Skalar l

a.       Baris ke-i dengan Skalar l ¹ 0 ® B_i^(l)(A)

b.       Kolom ke-i dengan Skalar l ¹ 0 ® K_i^(l)(A)

Contoh:

-          Mengalikan Baris

-          Mengalikan Kolom

3. Menambah baris/kolom dengan l kali baris/kolom

a.       Baris ke-i dengan l kali baris ke-j, B_ij^(l)(A)

b.       Kolom ke-i dengan l kali kolom ke-j, K_ij^(l)(A)

Contoh:

-          Baris

-          Kolom

"DETERMINAN"

Pengertian Determinan Matriks

                Pada Aljabar, determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau |A|. Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Cara menghitung nilai determinan matriks ordo 3×3 akan berbeda dengan cara menghitung determinan matriks ordo 2×2.

1. Determinan Matriks Ordo 2×2

 Contoh:

2. Determinan Matriks Ordo 3×3

-          Dengan Metode Sarrus

 Contoh:

Demikian materi tentang matriks dan determinan matriks. Terimakasih sudah mengunjungi blog saya. Saya minta maaf apabila ada kekurangan dalam penyampaian materi ini. Semoga bermanfaat!!!